Вопрос школьника
Найдите наибольшее значение функции F = х + у при условии х > 0, у ≥ 0, 5х + Зу ≤ 15, 2х + 6у ≤ 12, х < 3,у ≤ 2.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать метод линейного программирования.
1. Запишем функцию F = х + у, которую нужно максимизировать.
2. Запишем ограничения на переменные х и у:
— х > 0 (х должен быть больше нуля)
— у ≥ 0 (у должен быть больше или равен нулю)
— х < 3 (х должен быть меньше трех)
- у ≤ 2 (у должен быть меньше или равен двум)
3. Запишем ограничения на линейные комбинации переменных:
- 5х + Зу ≤ 15
- 2х + 6у ≤ 12
4. Приведем ограничения к каноническому виду:
- 5х + Зу + s1 = 15
- 2х + 6у + s2 = 12
где s1 и s2 - дополнительные переменные, которые вводятся для приведения ограничений к каноническому виду.
5. Составим таблицу:
| Базис | x | y | s1 | s2 | Свободный член |
|-------|---|---|----|----|----------------|
| s1 | 5 | 3 | 1 | 0 | 15 |
| s2 | 2 | 6 | 0 | 1 | 12 |
| F | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
6. Найдем опорное решение, выбрав базисные переменные: s1 и s2.
- s1 = 15 - 5x - 3y
- s2 = 12 - 2x - 6y
- F = x + y
Подставим значения x и y из опорного решения в функцию F:
F = x + y = (15 - s1)/5 + (12 - s2)/6 = (27 - s1 - s2)/30 = (27 - 15 - 12)/30 = 0
Таким образом, значение функции F в опорном решении равно нулю.
7. Перейдем к поиску оптимального решения. Для этого будем использовать метод искусственного базиса.
- Добавим в таблицу дополнительную строку для переменной u:
| Базис | x | y | s1 | s2 | u | Свободный член |
|-------|---|---|----|----|---|----------------|
| s1 | 5 | 3 | 1 | 0 | 0 | 15 |
| s2 | 2 | 6 | 0 | 1 | 0 | 12 |
| F | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
- Добавим в функцию F коэффициенты для переменной u:
F = x + y + 0u
- Выберем переменную u в качестве базисной и найдем опорное решение:
- s1 = 15 - 5x - 3y
- s2 = 12 - 2x - 6y
- u = 0
Подставим значения x и y из опорного решения в функцию F:
F = x + y + 0u = (15 - s1)/5 + (12 - s2)/6 + 0u = (27 - s1 - s2)/30 = (27 - 15 - 12)/30 = 0
- Проверим условие оптимальности:
В таблице нет отрицательных элементов в строке F, значит, оптимальное решение найдено.
- Найдем значения переменных x и y в оптимальном решении:
- s1 = 0
- s2 = 0
- 5x + 3y = 15
- 2x + 6y = 12
Решив эту систему уравнений, получим:
x = 1.8
y = 2
- Подставим найденные значения x и y в функцию F:
F = x + y = 1.8 + 2 = 3.8
Таким образом, наибольшее значение функции F = x + y при условии х > 0, у ≥ 0, 5х + Зу ≤ 15, 2х + 6у ≤ 12, х < 3, у ≤ 2 равно 3.8.
