Вопрос школьника
На плоскости отмечены 2011 точек. После симметрии относительно некоторой прямой а каждая из этих точек перешла в какую-то из отмеченных точек. Докажите, что прямая а проходит хотя бы через одну из отмеченных точек
Ответ от учителя
Рассмотрим произвольную точку на плоскости и ее образ при симметрии относительно прямой а. Обозначим эти точки через A и A’. Так как A перешла в A’, то A’ также является отмеченной точкой. Рассмотрим теперь произвольную другую точку B на плоскости и ее образ B’ при симметрии относительно прямой а. Если B’ совпадает с A, то мы доказали, что прямая а проходит через отмеченную точку. Если же B’ не совпадает с A, то рассмотрим точку C, которая является пересечением отрезка AB с прямой а. Так как точки A и B симметричны относительно прямой а, то точка C также лежит на прямой а. Рассмотрим образы точек A, B и C при симметрии относительно прямой а. Точка A переходит в A’, точка B переходит в B’, а точка C переходит в C’, которая также лежит на прямой а. Так как точки A’ и B’ являются отмеченными, то среди отмеченных точек есть либо A’, либо B’. Если A’ является отмеченной точкой, то мы доказали, что прямая а проходит через отмеченную точку. Если же A’ не является отмеченной точкой, то B’ является отмеченной точкой, и мы также доказали, что прямая а проходит через отмеченную точку. Таким образом, мы доказали, что прямая а проходит через отмеченную точку, что и требовалось доказать.
