Вопрос школьника
Докажите, что, если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник — прямоугольный.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Пусть треугольник ABC имеет медиану AM, которая равна половине стороны AC. Тогда, согласно определению медианы, точка M делит сторону AC пополам, то есть AM = MC.
Построим высоту CH на сторону AB. Тогда треугольник ACH будет прямоугольным, так как угол ACH является прямым (высота перпендикулярна к основанию). По теореме Пифагора имеем:
AC^2 = AH^2 + CH^2
Так как AM = MC, то AM = AC/2, а MC = AC/2. Подставляем это в уравнение:
AC^2 = AH^2 + (AC/2)^2
Упрощаем:
AC^2 = AH^2 + AC^2/4
Умножаем обе части уравнения на 4:
4AC^2 = 4AH^2 + AC^2
3AC^2 = 4AH^2
AH^2 = 3AC^2/4
Теперь рассмотрим треугольник ABH. В нем угол ABH также является прямым, так как высота перпендикулярна к основанию. По теореме Пифагора имеем:
AB^2 = AH^2 + BH^2
Подставляем значение AH^2 из предыдущего уравнения:
AB^2 = 3AC^2/4 + BH^2
Так как AM = MC, то BM = AC/2. Подставляем это в уравнение:
AB^2 = 3AC^2/4 + (AC/2)^2
Упрощаем:
AB^2 = 3AC^2/4 + AC^2/4
AB^2 = AC^2
Таким образом, получаем, что AB = AC, то есть треугольник ABC является равнобедренным. Также мы уже знаем, что угол ACH является прямым. Следовательно, угол ABC также является прямым, так как это угол между боковой стороной и медианой, которая равна половине этой стороны. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным.
