Вопрос школьника
Сторона АВ треугольника ABC равна 3, BAC = 60°, АВС = 75°. Найдите ВС и радиус описанной около этого треугольника окружности.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов:
$$frac{AB}{sin angle BAC} = frac{AC}{sin angle ABC} = frac{BC}{sin angle BCA}$$
Подставим известные значения:
$$frac{3}{sin 60^circ} = frac{AC}{sin 75^circ} = frac{BC}{sin (180^circ — 60^circ — 75^circ)}$$
Упростим выражение:
$$AC = frac{3sin 75^circ}{sin 60^circ} approx 3.46$$
$$BC = frac{3sin 45^circ}{sin 75^circ} approx 2.16$$
Теперь найдем радиус описанной окружности. Для этого воспользуемся формулой:
$$R = frac{abc}{4S}$$
где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
$$S = frac{1}{2} AB cdot AC cdot sin angle BAC$$
Подставим известные значения:
$$S = frac{1}{2} cdot 3 cdot frac{3sin 75^circ}{sin 60^circ} cdot sin 60^circ approx 3.67$$
Теперь найдем радиус описанной окружности:
$$R = frac{3 cdot frac{3sin 75^circ}{sin 60^circ} cdot frac{3sin 45^circ}{sin 75^circ}}{4 cdot 3.67} approx 1.98$$
Итак, мы нашли стороны треугольника $AC approx 3.46$ и $BC approx 2.16$, а также радиус описанной окружности $R approx 1.98$.
