Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Биссектрисы АК i СМ треугольника ABC пересекаются в точке О, ∟BAC = 116 °, ∟BCA = 34 °. Найдите угол АОС.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание о том, что биссектриса угла делит его на две равные части, а также о том, что сумма углов треугольника равна 180°.
Из условия задачи мы знаем, что биссектрисы углов АК и СМ пересекаются в точке О. Также нам даны значения углов ∟BAC и ∟BCA. Из суммы углов треугольника ABC мы можем найти значение угла ∟ABC:
∟ABC = 180° — ∟BAC — ∟BCA = 180° — 116° — 34° = 30°
Теперь мы можем заметить, что угол АОС является внутренним углом треугольника AOS, где О — точка пересечения биссектрис углов АК и СМ, а S — точка пересечения биссектрис угла ABC с отрезком AC.
Так как биссектриса угла ABC делит его на две равные части, то угол ∟SBC равен 15°. Также мы знаем, что угол ∟AOS делит на две равные части угол ∟AOC, так как точка О лежит на биссектрисе угла АК. Значит, угол ∟AOC равен 2∟SBC = 30°.
Теперь мы можем найти значение угла ∟AOS, используя теорему синусов для треугольника AOC:
sin(∟AOS) / sin(∟AOC) = OS / OC
sin(∟AOS) / sin(2∟SBC) = OS / OC
sin(∟AOS) / sin(30°) = OS / OC
sin(∟AOS) = sin(30°) * OS / OC
sin(∟AOS) = 1/2 * OS / OC
sin(∟AOS) = 1/2 * AO / AC
Так как мы знаем значения углов ∟ABC и ∟AOC, то мы можем найти длины отрезков AC и OC, используя теорему косинусов для треугольника ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC*cos(∟ABC)
AC^2 = 1^2 + 2^2 — 2*1*2*cos(30°)
AC^2 = 3 — 2*sqrt(3)
AC = sqrt(3 — 2*sqrt(3))
OC^2 = BC^2 + BO^2 — 2BC*BO*cos(∟BCO)
OC^2 = 2^2 + 1^2 — 2*2*1*cos(∟BCO)
OC^2 = 5 — 4*cos(∟BCO)
Так как точка О лежит на биссектрисе угла СМ, то угол ∟BCO равен половине угла ∟BCA, то есть 17°. Значит,
OC^2 = 5 — 4*cos(17°)
OC = sqrt(5 — 4*cos(17°))
Теперь мы можем найти значение sin(∟AOS):
sin(∟AOS) = 1/2 * AO / AC
sin(∟AOS) = 1/2 * AO / sqrt(3 — 2*sqrt(3))
Также мы знаем, что точка О лежит на биссектрисе угла АК, поэтому угол ∟AOC равен 2∟BAC, то есть 232°. Значит,
sin(∟AOC) = sin(232°)
sin(∟AOC) = -sin(48°)
Так как угол ∟AOC является острым углом, то sin(∟AOC) > 0. Значит, мы можем записать:
sin(∟AOS) / sin(∟AOC) = 1/2 * AO / sqrt(3 — 2*sqrt(3)) / (-sin(48°))
sin(∟AOS) = -1/2 * AO / sqrt(3 — 2*sqrt(3)) * sin(48°)
Теперь нам нужно найти значение AO. Для этого мы можем воспользоваться теоремой синусов для треугольника ABO:
sin(∟BOA) / sin(∟BAC) = AO / AB
sin(∟BOA) / sin(116°) = AO / 1
sin(∟BOA) = AO * sin(116°)
Также мы знаем, что угол ∟BOC является внешним углом треугольника ABO, поэтому он равен сумме углов ∟ABC и ∟BAC:
∟BOC = ∟ABC + ∟BAC = 30° + 116° = 146°
Так как угол ∟BOC является острым углом, то sin(∟BOC) > 0. Значит, мы можем записать:
sin(∟BOC) / sin(∟BOA) = OC / AB
sin(146°) / sin(∟BOA) = sqrt(5 — 4*cos(17°)) / 1
sin(∟BOA) = sqrt(5 — 4*cos(17°)) * sin(146°)
Теперь мы можем найти значение AO:
sin(∟BOA) = AO * sin(116°)
AO = sin(∟BOA) / sin(116°)
AO = (sqrt(5 — 4*cos(17°)) * sin(146°)) / sin(116°)
Теперь мы можем найти значение sin(∟AOS):
sin(∟AOS) = -1/2 * AO / sqrt(3 — 2*sqrt(3)) * sin(48°)
sin(∟AOS) = -1/2 * (sqrt(5 — 4*cos(17°)) * sin(146°)) / sin(116°) / sqrt(3 — 2*sqrt(3)) * sin(48°)
sin(∟AOS) = -0.155
Так как угол ∟AOS является острым углом, то sin(∟AOS) > 0. Значит, мы можем записать:
sin(∟AOS) = sin(Угол АОС)
sin(Угол АОС) = 0.155
Угол АОС = arcsin(0.155)
Угол АОС = 9.02°
Ответ: Угол АОС равен 9.02°.
