Вопрос школьника
Биссектрисы АМ и BD равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) пересекаются в точке К, ВК = 10 см, KD = 6 см. Найдите основание АС.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим точку пересечения биссектрис К и проведем от нее перпендикуляр к стороне АВ, который пересечет ее в точке М, а сторону ВС в точке Н. Также обозначим длину стороны АВ как х.
Так как треугольник АВС равнобедренный, то сторона ВС также равна х. Также, по свойству биссектрисы, угол АКМ равен углу КМВ, а угол КМВ равен углу КНД. Значит, угол АКМ равен углу КНД.
Так как треугольник АКМ прямоугольный, то по теореме Пифагора:
$AM^2 + MK^2 = AK^2$
Также, так как треугольник КНД прямоугольный, то:
$KD^2 + DN^2 = KN^2$
Но мы знаем, что ВК = 10 см и KD = 6 см, значит, DN = VK — KD = 4 см.
Также, по свойству биссектрисы, отрезок КМ делит сторону АВ на отрезки АМ и МВ, пропорциональные длинам смежных сторон:
$frac{AM}{MV} = frac{AB}{BV} = frac{x}{x} = 1$
Значит, АМ = МВ = х/2.
Теперь мы можем выразить AK и KN через х и решить систему уравнений:
$AM^2 + MK^2 = AK^2$
$KD^2 + DN^2 = KN^2$
$AK = KN$
$AM = MV = frac{x}{2}$
$KD = 6$
$DN = VK — KD = 4$
$VK = 10$
Подставляем значения:
$(frac{x}{2})^2 + MK^2 = AK^2$
$6^2 + 4^2 = KN^2$
$AK = KN$
Решаем систему уравнений:
$(frac{x}{2})^2 + MK^2 = KN^2$
$6^2 + 4^2 = KN^2$
$AK = KN$
$(frac{x}{2})^2 + MK^2 = 52$
$KN^2 = 52$
$AK = KN$
$(frac{x}{2})^2 + MK^2 = 52$
$AK^2 = 52$
$AK = sqrt{52}$
Теперь мы можем найти длину стороны АС, используя теорему Пифагора для треугольника АКС:
$AK^2 + KS^2 = AS^2$
Но мы знаем, что АК = КН, значит, KS = VK — KN = 10 — $sqrt{52}$.
Подставляем значения:
$52 + (10 — sqrt{52})^2 = AS^2$
$AS = sqrt{52 + (10 — sqrt{52})^2}$
$AS approx 12.6$
Ответ: основание АС равно примерно 12.6 см.
