Вопрос школьника
Боковое ребро SA четырехугольной пирамиды SABCD, основание которой — прямоугольник ABCD, перпендикулярно плоскости основания. Вычислите длину ребра SA, если SD = 12 см, SC = 18 см, SB = 14 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора и знание свойств прямоугольных треугольников.
Обозначим через $h$ высоту пирамиды, опущенную на основание $ABCD$. Так как основание является прямоугольником, то $h$ будет равна расстоянию от вершины $S$ до плоскости $ABCD$. Обозначим эту расстояние через $h_{SA}$.
Так как $SABCD$ — четырехугольная пирамида, то боковые ребра $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ являются боковыми ребрами трапеции $ABCD$. Обозначим через $a$ и $b$ длины боковых сторон трапеции $ABCD$, а через $l$ — длину бокового ребра трапеции, то есть ребра $SB$ или $SC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $a=CD$ и $b=AB$. Также из условия задачи известны длины боковых ребер $SB$, $SC$ и $SD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SBD$. По теореме Пифагора:
$$
l^2 = SB^2 + BD^2.
$$
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $BD=AC=b$. Подставляя известные значения, получаем:
$$
l^2 = 14^2 + b^2.
$$
Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $SCD$. По теореме Пифагора:
$$
l^2 = SC^2 + CD^2.
$$
Подставляя известные значения, получаем:
$$
l^2 = 18^2 + a^2.
$$
Таким образом, мы получили систему уравнений:
$$
begin{cases}
l^2 = 14^2 + b^2, \
l^2 = 18^2 + a^2.
end{cases}
$$
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
$$
a^2 — b^2 = 18^2 — 14^2 = 260.
$$
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $a^2 + b^2 = AB^2$. Подставляя это выражение в полученное уравнение, получаем:
$$
AB^2 — 2b^2 = 260.
$$
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AB=sqrt{a^2+b^2}$. Подставляя это выражение в полученное уравнение, получаем:
$$
(sqrt{a^2+b^2})^2 — 2b^2 = 260,
$$
откуда
$$
a^2 + b^2 — 2b^2 = 260,
$$
или
$$
a^2 — b^2 = 130.
$$
Таким образом, мы получили систему уравнений:
$$
begin{cases}
a^2 — b^2 = 130, \
a^2 + b^2 = AB^2.
end{cases}
$$
Решая эту систему уравнений, получаем:
$$
a^2 = frac{AB^2 + 130}{2}, quad b^2 = frac{AB^2 — 130}{2}.
$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SAB$. По теореме Пифагора:
$$
SA^2 = h_{SA}^2 + AB^2.
$$
Подставляя найденные выражения для $AB^2$, получаем:
$$
SA^2 = h_{SA}^2 + frac{AB^2 + 130}{2}.
$$
Осталось найти высоту $h_{SA}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAD$. По теореме Пифагора:
$$
h_{SA}^2 = SD^2 — AD^2.
$$
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD=BC=a$. Подставляя известные значения, получаем:
$$
h_{SA}^2 = 12^2 — a^2.
$$
Таким образом, мы получили выражение для $SA^2$:
$$
SA^2 = 12^2 — a^2 + frac{AB^2 + 130}{2}.
$$
Осталось найти $a$ и $AB$. Из системы уравнений:
$$
begin{cases}
a^2 — b^2 = 130, \
a^2 + b^2 = AB^2,
end{cases}
$$
находим:
$$
a^2 = frac{AB^2 + 130}{2}, quad b^2 = frac{AB^2 — 130}{2}.
$$
Подставляя это выражение для $a^2$ в выражение для $SA^2$, получаем:
$$
SA^2 = 12^2 — frac{AB^2 + 130}{2} + frac{AB^2 + 130}{2} = 12^2 = 144.
$$
Отсюда следует, что $SA=12$ см.
