Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью

Вопрос школьника

Ответ от учителя

Пусть катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны a, а гипотенуза равна c. Тогда, по теореме Пифагора, c = √(a^2 + a^2) = √2a.

Плоскость, проведенная под углом 45° к одному из катетов, будет проходить через вершину прямого угла и делить треугольник на две равные части. Таким образом, она будет проходить через середину гипотенузы и образовывать с гипотенузой угол 45°.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный гипотенузой, плоскостью и ее проекцией на гипотенузу. Этот треугольник является прямоугольным, так как один из углов равен 90° (угол между гипотенузой и плоскостью), а другой угол равен 45° (угол между гипотенузой и плоскостью). Третий угол равен 45° (угол между плоскостью и ее проекцией на гипотенузу).

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник с углами 45°, 45° и 90°. Значит, угол между гипотенузой и плоскостью равен 45°.