Вопрос школьника
Через середину К медианы ВМ треугольника ABC и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВК к площади четырёхугольника КРСМ.
Ответ от учителя
Пусть точка К делит медиану ВМ в отношении BM:MK = 1:2. Тогда, так как медиана делит сторону на две равные части, то BM = MC. Пусть точка Q — середина стороны АК. Тогда, так как AQ = QK, то точка Q лежит на медиане ВМ и делит ее в отношении BM:MQ = 1:1. Таким образом, точки К, М и Q являются точками пересечения медиан треугольника ABC.
Пусть S1 — площадь треугольника АВК, а S2 — площадь четырехугольника КРСМ. Так как точка Q является серединой медианы ВМ, то S1 = (1/2)S(ABC), где S(ABC) — площадь треугольника ABC. Также заметим, что треугольники АВК и АРС подобны, так как угол АКВ равен углу АРС (они соответственные при параллельных прямых АК и СР), а угол ВКА равен углу СРА (они вертикальные). Таким образом, отношение площадей треугольников АВК и АРС равно отношению квадратов соответствующих сторон:
S1/S(ARS) = (AV/AС)^2
Но так как точка Q является серединой медианы ВМ, то AV = (2/3)BM и AC = 2BM. Таким образом,
S1/S(ARS) = ((2/3)BM/2BM)^2 = 1/9
Также заметим, что треугольники КРС и КМВ подобны, так как угол КРС равен углу КМВ (они соответственные при параллельных прямых КР и ВМ), а угол КСР равен углу КВМ (они вертикальные). Таким образом, отношение площадей треугольников КРС и КМВ равно отношению квадратов соответствующих сторон:
S(KРСМ)/S(KМВ) = (KR/KM)^2
Но так как точка К делит медиану ВМ в отношении BM:MK = 1:2, то KM = (3/2)MK и KR = (2/3)BM. Таким образом,
S(KРСМ)/S(KМВ) = ((2/3)BM/(3/2)MK)^2 = 4/9
Таким образом, отношение площадей треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ равно:
S1/S2 = S1/S(KРСМ) * S(KРСМ)/S(KМВ) * S(KМВ)/S2 = (1/9) * (4/9) = 4/81
Ответ: отношение площади треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ равно 4/81.
