Вопрос школьника
Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства перпендикуляров.
Из условия задачи мы знаем, что прямые, проходящие через точки А и В и перпендикулярные плоскости α, пересекают ее в точках С и D соответственно. Также нам даны значения АС = 3 м, BD = 2 м и CD = 2,4 м.
Рассмотрим треугольник АСD. Он является прямоугольным, так как прямые АС и BD перпендикулярны плоскости α, а значит, пересекают ее под прямым углом. Таким образом, мы можем применить теорему Пифагора и выразить длину отрезка CD через длины отрезков АС и BD:
CD² = AC² + AD²
AD² = CD² — AC² = (2,4 м)² — (3 м)² = -2,64 м²
Мы получили отрицательное значение, что говорит о том, что отрезок АD не существует. Это означает, что точки А и В находятся на разных сторонах плоскости α, и отрезок АВ не пересекает ее.
Теперь мы можем рассмотреть треугольник АВ. Он также является прямоугольным, так как прямые АС и BD перпендикулярны плоскости α, а значит, пересекают ее под прямым углом. Мы знаем, что АС = 3 м и BD = 2 м, а значит, длина отрезка AB равна:
AB² = AC² + BC²
BC² = AB² — AC² = (AB + AC)(AB — AC)
Мы не знаем длины отрезков AB и BC, но мы знаем, что отрезок АВ не пересекает плоскость α. Это означает, что точки С и D лежат на одной прямой, проходящей перпендикулярно плоскости α. Таким образом, отрезок CD является высотой треугольника АВ, опущенной на сторону АВ.
Мы можем выразить длину отрезка BC через длину отрезка CD:
BC² = AB² — CD²
BC² = AB² — (2,4 м)²
Теперь мы можем выразить длину отрезка AB через длины отрезков АС и BD:
AB² = BC² + AC²
AB² = (AB + AC)(AB — AC) + AC²
AB² = (AB + 3 м)(AB — 3 м) + 9 м²
AB² = AB² — 9 м² + 9 м²
AB = √9 м² = 3 м
Таким образом, расстояние между точками А и В равно 3 м.
