Вопрос школьника
Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ2 = АР х AQ.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами касательных и секущих окружностей.
Из свойств касательной к окружности следует, что угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. Таким образом, угол АВР также равен 90 градусов.
Из свойств секущей окружности следует, что произведение отрезков, на которые секущая делит окружность, равно произведению отрезков, начинающихся в точках пересечения секущей с окружностью. То есть, АР х AQ = РВ х ВQ.
Объединяя эти два свойства, получаем:
АВ2 = АР2 + РВ2 (теорема Пифагора для прямоугольного треугольника АВР)
АВ2 = АР2 + (АР х ВQ) (так как РВ = ВQ, согласно свойству секущей)
АВ2 = АР2 + АР х AQ
АВ2 = АР х (АР + AQ)
АВ2 = АР х AQ
Таким образом, мы доказали, что АВ2 = АР х AQ.
