Вопрос школьника
Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием АС. Точки D и Е лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, AD = СЕ. DC пересекает АЕ в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.
Ответ от учителя
Для доказательства равнобедренности треугольника АОС нужно показать, что его боковые стороны АО и СО равны между собой.
Рассмотрим треугольники АОD и СОЕ. Они равны по двум сторонам и углу между ними, так как AD = СЕ (по условию), OD = OE (так как это высоты треугольников АBD и СBE, опущенные на основание BC), и угол АОD равен углу СОЕ (они вертикальные). Следовательно, треугольники АОD и СОЕ равны.
Из равенства треугольников следует, что углы АОД и СОЕ равны между собой. Но угол АОД равен углу СОС (они вертикальные), поэтому угол СОС также равен углу СОЕ.
Таким образом, у треугольника АОС два равных угла (АОС и СОС), а значит, он равнобедренный.
