Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.

Ответ от учителя

Для решения данной задачи нужно использовать свойство касательной окружности: касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

Итак, пусть даны две параллельные прямые AB и CD, и точка P, не лежащая на них. Нам нужно построить окружность, проходящую через точку P и касающуюся данных прямых.

1. Проведем через точку P прямую, параллельную данным прямым AB и CD. Обозначим ее EF.

2. Найдем середину отрезка EP и обозначим ее O.

3. Проведем прямую, проходящую через точку O и перпендикулярную прямым AB и CD. Обозначим ее GH.

4. Найдем точку пересечения прямых EF и GH. Обозначим ее K.

5. Построим окружность с центром в точке K и радиусом KP (или KQ, где Q — точка пересечения прямых AB и CD).

6. Эта окружность будет проходить через точку P и касаться прямых AB и CD.

Доказательство: Пусть M и N — точки касания окружности с прямыми AB и CD соответственно. Тогда, по свойству касательной, OM и ON будут перпендикулярны радиусам KM и KN, проведенным в точках касания. Но так как KM = KN (они равны радиусу окружности), то OM = ON. Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN, то есть на прямой GH. А так как точка K лежит на прямой GH и на отрезке EP, то она лежит на пересечении прямых EF и GH. Значит, окружность с центром в точке K и радиусом KP (или KQ) касается прямых AB и CD в точках M и N соответственно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *