Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Среднее арифметическо и среднее геометрическое площадей

Вопрос школьника

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Среднее арифметическо и среднее геометрическое площадей треугольников BOC и AOD равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.

Ответ от учителя

Пусть диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Тогда, по свойству диагоналей трапеции, точка O является серединой отрезка, соединяющего основания трапеции: AO = OD и BO = OC.

Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Они имеют общую высоту, которая равна расстоянию между основаниями трапеции: h = CD. Поэтому среднее арифметическое и среднее геометрическое их площадей будут равны:

S1 = (SBOC + SAOD) / 2
S2 = √(SBOC × SAOD)

Заметим, что треугольники BOC и AOD равнобедренные, так как AO = OD и BO = OC. Поэтому высоты этих треугольников, опущенные на основания, будут равны:

h1 = BO × sin(∠BOC) = OC × sin(∠BOC)
h2 = AO × sin(∠AOD) = OD × sin(∠AOD)

Так как ∠BOC = 180° — ∠AOD (сумма углов при вершине), то sin(∠BOC) = sin(∠AOD), и мы получаем:

h1 = h2 = h

Теперь мы можем выразить площади треугольников через высоту h:

SBOC = 1/2 × BO × h
SAOD = 1/2 × AO × h

Подставляя эти выражения в формулы для S1 и S2, получаем:

S1 = 1/2 × (BO + AO) × h
S2 = √(1/4 × (BO + AO)² × h²)

Так как BO + AO = AB и CD (сумма противоположных сторон трапеции), то мы можем выразить S1 и S2 через площадь трапеции S:

S1 = S/2
S2 = √(S²/16)

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

S1 = S/2
S2 = √(S²/16)

Решая ее, находим:

S = 4S1 = 2S2

То есть площадь трапеции равна удвоенному среднему геометрическому площадей треугольников BOC и AOD.