Вопрос школьника
Длина железного сердечника тороида ℓ1=1 м, длина воздушного зазора ℓ2=3 мм. Число витков в обмотке тороида N=2000. Найти напряженность магнитного поля H2 в воздушном зазоре при токе I=1 А в обмотке тороида
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать закон Ампера, который гласит, что интеграл от магнитной индукции B по замкнутому контуру равен произведению тока, протекающего через этот контур, на число витков N, охватываемых контуром:
∮ B dl = μ0NI,
где μ0 — магнитная постоянная.
В нашем случае контуром является тороид, поэтому интеграл можно разбить на две части: по железному сердечнику и по воздушному зазору:
∮ B dl = ∫ B1 dl + ∫ B2 dl,
где B1 — магнитная индукция в железном сердечнике, B2 — магнитная индукция в воздушном зазоре.
Так как железный сердечник является магнитопроводом, то магнитная индукция в нем будет постоянной и равной:
B1 = μ0NI/ℓ1,
где ℓ1 — длина железного сердечника.
Для расчета магнитной индукции в воздушном зазоре необходимо воспользоваться формулой для магнитного поля внутри тороида:
H1 = NI/2πr,
где r — радиус тороида.
Так как воздушный зазор находится на расстоянии ℓ2 от железного сердечника, то радиус тороида в этом месте будет равен:
r2 = r1 + ℓ2,
где r1 — радиус тороида внутри железного сердечника.
Тогда магнитная индукция в воздушном зазоре будет равна:
B2 = μ0H2 = μ0NI/2πr2.
Теперь можно записать уравнение для интеграла по замкнутому контуру:
∮ B dl = ∫ B1 dl + ∫ B2 dl = μ0NI/ℓ1 ∫ dl + μ0NI/2πr2 ∫ dl.
Из геометрических соображений можно выразить длину контура через радиусы тороида:
∫ dl = 2π(r1 + ℓ2) + 2πr2 = 2π(2r1 + ℓ2).
Тогда уравнение примет вид:
μ0NI/ℓ1 ∫ dl + μ0NI/2πr2 ∫ dl = μ0NI(2r1 + ℓ2)/ℓ1 + μ0NI/2(r1 + ℓ2).
Подставляя значения из условия задачи, получаем:
H2 = NI/2πr2 = (2000*1)/(2π*(0.5*0.001+1)) ≈ 318.3 А/м.
Ответ: напряженность магнитного поля в воздушном зазоре при токе 1 А в обмотке тороида равна 318.3 А/м.
