Вопрос школьника
Докажите, что: а) четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 11; б) трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 37; не делится на 11.
Ответ от учителя
а) Чтобы доказать, что четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 11, нужно показать, что разность суммы цифр на чётных позициях и суммы цифр на нечётных позициях кратна 11. Для числа, записанного одинаковыми цифрами, сумма цифр на чётных позициях равна сумме цифр на нечётных позициях, поэтому разность этих сумм равна нулю, что кратно 11. Следовательно, четырёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 11.
б) Чтобы доказать, что трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, делится на 37, нужно воспользоваться теоремой Ферма. Эта теорема утверждает, что если число a не делится на простое число p, то a^(p-1) — 1 делится на p. В нашем случае, число записано одинаковыми цифрами, поэтому a = 111. Простое число p = 37 не делит 111, поэтому применяем теорему Ферма: 111^(37-1) — 1 = 111^36 — 1. Это число можно разложить на множители: 111^36 — 1 = (111^18 + 1)(111^18 — 1) = (111^18 + 1)(111^9 + 1)(111^9 — 1). Все эти множители делятся на 37, поэтому исходное число тоже делится на 37.
Чтобы доказать, что трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, не делится на 11, нужно заметить, что сумма цифр этого числа равна 3, 6 или 9. Ни одно из этих чисел не делится на 11, поэтому исходное число не делится на 11.
