Вопрос школьника
Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если:
1) А(0;2;-3), В(-1;1;1), С(2;-2;-1), D(3;-1;-5);
2) А(2;1; 3), В(1;0;7), С(-2;1;5), D(-1;2;1).
Ответ от учителя
1) Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо и достаточно показать, что противоположные стороны параллельны.
Векторы, соответствующие сторонам AB и CD, можно найти как разность координат соответствующих точек:
AB = B — A = (-1;1;1) — (0;2;-3) = (-1;-1;4)
CD = D — C = (3;-1;-5) — (2;-2;-1) = (1;1;-4)
Векторы, соответствующие сторонам BC и AD, можно найти аналогично:
BC = C — B = (2;-2;-1) — (-1;1;1) = (3;-3;-2)
AD = A — D = (0;2;-3) — (3;-1;-5) = (-3;3;2)
Теперь необходимо проверить, что AB || CD и BC || AD. Для этого достаточно проверить, что векторное произведение этих векторов равно нулю:
AB x CD = (-1;-1;4) x (1;1;-4) = (-3;3;0) ≠ 0
BC x AD = (3;-3;-2) x (-3;3;2) = (0;0;0)
Таким образом, только одно из двух векторных произведений равно нулю, а значит, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.
2) Аналогично первому случаю, необходимо и достаточно показать, что противоположные стороны параллельны.
Векторы, соответствующие сторонам AB и CD, можно найти как разность координат соответствующих точек:
AB = B — A = (1;0;7) — (2;1;3) = (-1;-1;4)
CD = D — C = (-1;2;1) — (-2;1;5) = (1;1;-4)
Векторы, соответствующие сторонам BC и AD, можно найти аналогично:
BC = C — B = (-2;1;5) — (1;0;7) = (-3;1;-2)
AD = A — D = (2;1;3) — (-1;2;1) = (3;-1;2)
Теперь необходимо проверить, что AB || CD и BC || AD. Для этого достаточно проверить, что векторное произведение этих векторов равно нулю:
AB x CD = (-1;-1;4) x (1;1;-4) = (-9;5;2) ≠ 0
BC x AD = (-3;1;-2) x (3;-1;2) = (4;8;8) ≠ 0
Таким образом, ни одно из двух векторных произведений не равно нулю, а значит, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.
