Вопрос школьника
Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если:
1) А(6;7;8), В(8;2;6), С(4;3;2), D(2;8;4);
2) А(0;2;0), В(1;0;0), С(2;0;2), D(1;2;2).
Ответ от учителя
1) Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо и достаточно доказать, что все его стороны равны между собой и противоположные углы равны.
Для начала найдем длины сторон AB, BC, CD и DA:
AB = √[(8-6)² + (2-7)² + (6-8)²] = √29
BC = √[(4-8)² + (3-2)² + (2-6)²] = √29
CD = √[(2-4)² + (8-3)² + (4-2)²] = √29
DA = √[(6-2)² + (7-8)² + (8-4)²] = √29
Как видим, все стороны равны между собой, значит, ABCD является параллелограммом. Осталось доказать, что противоположные углы равны.
Найдем векторы AB, BC, CD и DA:
AB = (8-6)i + (2-7)j + (6-8)k = 2i — 5j — 2k
BC = (4-8)i + (3-2)j + (2-6)k = -4i + 1j — 4k
CD = (2-4)i + (8-3)j + (4-2)k = -2i + 5j + 2k
DA = (6-2)i + (7-8)j + (8-4)k = 4i — 1j + 4k
Найдем длины векторов AB и BC:
|AB| = √(2² + (-5)² + (-2)²) = √29
|BC| = √((-4)² + 1² + (-4)²) = √29
Так как длины векторов AB и BC равны, то угол между ними равен 90 градусов. Аналогично, можно доказать, что угол между векторами CD и DA также равен 90 градусов.
Таким образом, все стороны равны между собой, а противоположные углы равны, значит, четырехугольник ABCD является ромбом.
2) Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо и достаточно доказать, что все его стороны равны между собой и противоположные углы равны.
Для начала найдем длины сторон AB, BC, CD и DA:
AB = √[(1-0)² + (0-2)² + (0-0)²] = √5
BC = √[(2-1)² + (0-0)² + (2-0)²] = √5
CD = √[(1-2)² + (2-0)² + (2-2)²] = √5
DA = √[(0-1)² + (2-2)² + (0-0)²] = √1
Как видим, стороны AB, BC и CD равны между собой, а сторона DA меньше. Значит, ABCD не может быть ромбом.
Таким образом, четырехугольник ABCD не является ромбом.
