Вопрос школьника
Докажите, что если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то противолежащий этому катету угол равен 30°.
Ответ от учителя
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза равна c, а катет AB равен c/2. Требуется доказать, что угол ACB равен 30°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, где BD является высотой, опущенной на гипотенузу AC. Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол ABD также прямой.
По теореме Пифагора в треугольнике ABD имеем:
AD² = AB² + BD²
AD² = (c/2)² + BD²
AD² = c²/4 + BD²
Аналогично, в треугольнике BCD имеем:
BD² = BC² — CD²
BD² = c²/4 — (c/2)²
BD² = c²/4 — c²/4
BD² = 0
Отсюда следует, что BD = 0, то есть высота опущена на гипотенузу в точке B, которая является серединой гипотенузы AC.
Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, и угол ACB равен углу ABC, то есть 30°. Доказано.
