Вопрос школьника
Докажите, что площадь трапеции вычисляется по формуле S = 1/2d1d2 sin а, где d1 и d2 — её диагонали, а а — угол между диагоналями.
Ответ от учителя
Для доказательства данной формулы воспользуемся следующими шагами:
1. Разобьем трапецию на два треугольника, соединив диагонали.
2. Обозначим длины диагоналей как d1 и d2, а угол между ними как а.
3. Рассмотрим один из треугольников, образованных диагоналями. Обозначим его высоту как h.
4. Из геометрии треугольника следует, что h = (1/2)d1 sin(90-а/2) = (1/2)d2 sin(90-а/2).
5. Сложим эти два выражения и получим h = (1/2)(d1+d2)sin(90-а/2).
6. Площадь треугольника можно вычислить как S1 = (1/2)h(d1/2) = (1/4)d1h.
7. Аналогично, площадь второго треугольника S2 = (1/4)d2h.
8. Суммируя площади двух треугольников, получим S = S1 + S2 = (1/4)d1h + (1/4)d2h = (1/4)(d1+d2)h.
9. Используя выражение для высоты h, получим S = (1/4)(d1+d2)(1/2)(d1+d2)sin(90-а/2) = (1/2)d1d2sin(а/2).
10. Наконец, удваивая полученное выражение, получим искомую формулу для площади трапеции: S = 1/2d1d2sin(а).
Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции вычисляется по формуле S = 1/2d1d2sin(а), используя геометрические свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции.
