Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника, Диагонали которого перпендикулярны, равна половине их произведения.

Вопрос школьника

Ответ от учителя

Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD перпендикулярны. Обозначим длины этих диагоналей через a и b соответственно.

Так как диагонали перпендикулярны, то они делят четырёхугольник на четыре треугольника: ABC, ABD, BCD и ACD. При этом каждый из этих треугольников является прямоугольным, так как один из его углов равен 90 градусам.

Площадь четырёхугольника ABCD можно выразить как сумму площадей треугольников ABC и ACD, или как сумму площадей треугольников ABD и BCD:

S(ABCD) = S(ABC) + S(ACD) = S(ABD) + S(BCD)

Так как каждый из этих треугольников является прямоугольным, то его площадь можно выразить как половину произведения катетов:

S(ABC) = 0.5 * AB * BC
S(ACD) = 0.5 * AC * CD
S(ABD) = 0.5 * AB * BD
S(BCD) = 0.5 * BC * CD

Заметим, что диагонали AC и BD являются высотами треугольников ABC и ABD соответственно, а также высотами треугольников ACD и BCD. Таким образом, мы можем выразить катеты треугольников через диагонали:

AB = sqrt(a^2 — b^2)/2
BC = sqrt(a^2 — b^2)/2
AC = sqrt(b^2 — a^2)/2
BD = sqrt(b^2 — a^2)/2
CD = sqrt(a^2 + b^2)/2

Подставляя эти выражения в формулы для площадей треугольников, получаем:

S(ABC) = 0.5 * sqrt(a^2 — b^2)/2 * sqrt(a^2 — b^2)/2 = (a^2 — b^2)/4
S(ACD) = 0.5 * sqrt(b^2 — a^2)/2 * sqrt(a^2 + b^2)/2 = (a^2 — b^2)/4
S(ABD) = 0.5 * sqrt(a^2 — b^2)/2 * sqrt(b^2 — a^2)/2 = (a^2 — b^2)/4
S(BCD) = 0.5 * sqrt(a^2 + b^2)/2 * sqrt(b^2 — a^2)/2 = (a^2 — b^2)/4

Таким образом, площадь четырёхугольника ABCD равна:

S(ABCD) = (a^2 — b^2)/4 + (a^2 — b^2)/4 = (a^2 — b^2)/2 = 0.5 * a * b

Что и требовалось доказать.