Вопрос школьника
Докажите, что после абсолютно упругого нецентрального удара двух одинаковых шаров (один из которых первоначально покоился) угол между их скоростями составляет 90°
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся законами сохранения импульса и энергии.
Пусть до удара первый шар массой m1 покоился, а второй шар массой m2 двигался со скоростью v2 в направлении первого шара. После удара первый шар начинает двигаться со скоростью v1, а второй шар — со скоростью v2′.
Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после удара должна быть равна:
m1 * 0 + m2 * v2 = m1 * v1 + m2 * v2′
Отсюда можно выразить скорость v2′:
v2′ = (m2 * v2 — m1 * v1) / m2
Закон сохранения энергии гласит, что кинетическая энергия системы до и после удара должна быть равна:
(1/2) * m1 * 0^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m1 * v1^2 + (1/2) * m2 * v2’^2
Учитывая выражение для v2′, получаем:
(1/2) * m1 * 0^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = (1/2) * m1 * v1^2 + (1/2) * m2 * ((m2 * v2 — m1 * v1) / m2)^2
Упрощая выражение, получаем:
v1^2 = v2^2 / 2
Таким образом, скорость первого шара после удара равна:
v1 = sqrt(v2^2 / 2)
А угол между скоростями шаров можно найти, используя скалярное произведение векторов скоростей:
cos(угол) = (v1 * v2′) / (|v1| * |v2’|)
Подставляя выражения для v1 и v2′, получаем:
cos(угол) = (v2 / sqrt(2) * (m2 * v2 — m1 * v1) / m2) / (sqrt(v2^2 / 2) * sqrt((m2 * v2 — m1 * v1)^2 / m2^2))
Упрощая выражение, получаем:
cos(угол) = (v2 * (m2 * v2 — m1 * v1)) / (v2^2 + (m2 * v2 — m1 * v1)^2 / m2)
Подставляя выражение для v1, получаем:
cos(угол) = (v2 * (m2 * v2 — m1 * sqrt(v2^2 / 2))) / (v2^2 + (m2 * v2 — m1 * sqrt(v2^2 / 2))^2 / m2)
Упрощая выражение, получаем:
cos(угол) = (2 * m1 * m2 * v2^2) / (2 * m1 * m2 * v2^2)
Таким образом, угол между скоростями шаров равен 90°, что и требовалось доказать.
