Докажите, что при α + β ≤ 180º имеют место тождества: а) sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β; б) cos (α+ β) = cos α cos β – sin α sin β.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Докажите, что при α + β ≤ 180º имеют место тождества:
а) sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β;
б) cos (α+ β) = cos α cos β – sin α sin β.

Ответ от учителя

Для доказательства этих тождеств воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β

Для начала рассмотрим первое тождество. Подставим в него формулы для синуса и косинуса:

sin (α + β) = (sin α cos β + cos α sin β) cos (90° — α — β) + (cos α cos β — sin α sin β) sin (90° — α — β)

Раскроем скобки и упростим выражение:

sin (α + β) = sin α cos β cos (90° — α — β) + cos α sin β cos (90° — α — β) + cos α cos β sin (90° — α — β) — sin α sin β sin (90° — α — β)

Заметим, что sin (90° — α — β) = cos (α + β) и cos (90° — α — β) = -sin (α + β). Подставим эти значения и упростим выражение:

sin (α + β) = sin α cos β cos (α + β) + cos α sin β cos (α + β) — cos α cos β sin (α + β) + sin α sin β sin (α + β)

Вынесем sin (α + β) за скобки и получим:

sin (α + β) = sin (α + β) (cos α cos β + sin α sin β)

Таким образом, мы доказали первое тождество.

Теперь рассмотрим второе тождество. Подставим в него формулы для синуса и косинуса:

cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β

Раскроем скобки и упростим выражение:

cos (α + β) = cos α cos β cos (90° — α — β) — sin α sin β cos (90° — α — β) + sin α cos β sin (90° — α — β) + cos α sin β sin (90° — α — β)

Заметим, что sin (90° — α — β) = cos (α + β) и cos (90° — α — β) = -sin (α + β). Подставим эти значения и упростим выражение:

cos (α + β) = cos α cos β cos (α + β) — sin α sin β cos (α + β) + sin α cos β sin (α + β) — cos α sin β sin (α + β)

Вынесем cos (α + β) за скобки и получим:

cos (α + β) = cos (α + β) (cos α cos β — sin α sin β)

Таким образом, мы доказали второе тождество.

Итак, мы доказали оба тождества при условии, что α + β ≤ 180°. Это означает, что сумма углов не превышает прямого угла, и формулы сложения для синуса и косинуса остаются верными.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *