Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника

Вопрос школьника

1) Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.
2) Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.

Ответ от учителя

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=AC. Пусть M, N и P — середины сторон AB, BC и AC соответственно.

Так как M — середина стороны AB, то AM=MB. Аналогично, NP=PC и BN=NC.

Рассмотрим треугольник MNP. Так как AM=MB и NP=PC, то угол AMN равен углу BPC (по двум сторонам и углу). Аналогично, угол MNP равен углу BAC, а угол NPM равен углу ABC.

Таким образом, углы треугольника MNP равны углам треугольника ABC. Кроме того, стороны треугольника MNP равны половинам соответствующих сторон треугольника ABC.

Значит, треугольник MNP подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/2.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы BAC и ABC равны. Значит, угол AMN равен углу MNP.

Таким образом, треугольник MNP также равнобедренный, и его боковые стороны равны сторонам треугольника ABC, деленным на 2.

Значит, середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.

2) Рассмотрим равносторонний треугольник ABC. Пусть M, N и P — середины сторон AB, BC и AC соответственно.

Так как треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны. Значит, AM=MB, BN=NC и CP=PA.

Рассмотрим треугольник MNP. Так как AM=MB, BN=NC и CP=PA, то треугольник MNP равносторонний.

Кроме того, стороны треугольника MNP равны половинам соответствующих сторон треугольника ABC.

Значит, треугольник MNP подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/2.

Так как треугольник ABC равносторонний, то все его углы равны 60 градусов. Значит, углы треугольника MNP также равны 60 градусов.

Таким образом, треугольник MNP также равносторонний, и его стороны равны половинам соответствующих сторон треугольника ABC.

Значит, середины сторон равностороннего треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.