Докажите теорему; площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Ответь развернуто и подробно на вопрос — Докажите теорему; площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Ответ от учителя

Для доказательства данной теоремы воспользуемся формулой площади треугольника:

S = 1/2 * a * b * sin(α)

где S — площадь треугольника, a и b — длины двух сторон, α — угол между этими сторонами.

Для начала заметим, что данная формула является обобщением формулы площади прямоугольного треугольника, где угол между катетами равен 90 градусов:

S = 1/2 * a * b

Теперь рассмотрим произвольный треугольник ABC, где стороны AB и AC образуют угол α. Рисунок для наглядности:

«`
A
/
/
/
B——-C
«`

Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника ABC1 и ABC2, где C1 и C2 — точки пересечения высоты из вершины A с сторонами AB и AC соответственно. Рисунок:

«`
A
/|
/ |
/ |
B—C2—C1
«`

Так как высота из вершины A является биссектрисой угла BAC, то она делит сторону BC на две отрезка, пропорциональные длинам сторон AB и AC:

BC1/BC2 = AB/AC

Отсюда следует, что BC1 = AB * (BC / AC) и BC2 = AC * (BC / AB).

Теперь можем выразить площади треугольников ABC1 и ABC2 через длины сторон AB, AC и BC:

S(ABC1) = 1/2 * AB * BC1 = 1/2 * AB * BC * (BC / AC)

S(ABC2) = 1/2 * AC * BC2 = 1/2 * AC * BC * (BC / AB)

Сложив эти две площади, получим площадь треугольника ABC:

S(ABC) = S(ABC1) + S(ABC2) = 1/2 * AB * BC * (BC / AC) + 1/2 * AC * BC * (BC / AB)

Вынесем общий множитель 1/2 * BC за скобки:

S(ABC) = 1/2 * BC * (AB * (BC / AC) + AC * (BC / AB))

Заметим, что выражение в скобках является суммой двух произведений, которые можно переписать в виде:

AB * BC / AC + AC * BC / AB = (AB^2 + AC^2) / AC * BC / AB

Таким образом, площадь треугольника ABC можно записать в виде:

S(ABC) = 1/2 * BC * (AB^2 + AC^2) / AC * BC / AB

Упростим выражение, сократив BC:

S(ABC) = 1/2 * AB * AC * sin(α)

Таким образом, мы получили формулу для площади произвольного треугольника, которая совпадает с формулой из условия теоремы:

S = 1/2 * a * b * sin(α)

Следовательно, теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *