Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Доведіть, що коли центри вписаного й описаного кіл трикутника збігаються, то цей трикутник рівносторонній
Ответ от учителя
Для доведення даного твердження використаємо наступні факти:
1. Центр вписаного кола трикутника є точкою перетину бісектрис внутрішніх кутів трикутника.
2. Центр описаного кола трикутника є точкою перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника.
3. У рівносторонньому трикутнику всі сторони мають однакову довжину, а кожний кут дорівнює 60 градусам.
Нехай ABC — трикутник з центром вписаного кола I та центром описаного кола O. За умовою задачі, I = O.
Розглянемо бісектрису кута A. Вона проходить через точки I та O, тому є серединним перпендикуляром до сторони BC. Аналогічно, бісектриси кутів B та C є серединними перпендикулярами до сторін AC та AB відповідно.
Отже, у трикутнику ABC всі бісектриси є серединними перпендикулярами до сторін, тобто трикутник ABC є описаним колом. За теоремою про описаний кут, кут AOB дорівнює 2 кутам C та BAC.
Аналогічно, кути BOC та ACO дорівнюють 2 кутам A та BAC, та 2 кутам B та ABC відповідно.
Отже, кути трикутника ABC дорівнюють 60 градусам, тобто трикутник ABC є рівностороннім.
Отже, коли центри вписаного та описаного кола трикутника збігаються, то трикутник є рівностороннім.
