Груз на пружине колеблется с частотой 0,25 Гц и амплитудой 12 см. Какой путь пройдёт груз за 1 с, начиная движение: из положения равновесия;

Вопрос школьника

Груз на пружине колеблется с частотой 0,25 Гц и амплитудой 12 см. Какой путь пройдёт груз за 1 с, начиная движение:
из положения равновесия;
из крайнего положения?
Сколько полных колебаний совершит маятник за 4 с в каждом случае?

Ответ от учителя

Для решения задачи нам понадобятся формулы для гармонических колебаний:

$x = Asin(omega t + varphi)$ — уравнение гармонических колебаний, где $x$ — перемещение от положения равновесия, $A$ — амплитуда колебаний, $omega$ — угловая частота, $varphi$ — начальная фаза колебаний;

$omega = 2pi f$ — формула для вычисления угловой частоты $omega$ по частоте $f$;

$v = omega Acos(omega t + varphi)$ — скорость груза в момент времени $t$;

$a = -omega^2 Asin(omega t + varphi)$ — ускорение груза в момент времени $t$.

Из условия задачи известно, что частота колебаний $f = 0,25$ Гц, а амплитуда $A = 12$ см. Переведем амплитуду в метры: $A = 0,12$ м.

1. Из положения равновесия

Если груз начинает движение из положения равновесия, то начальная фаза колебаний $varphi = 0$. Угловая частота $omega$ вычисляется по формуле $omega = 2pi f = 2pi cdot 0,25 = 1,57$ рад/с.

Тогда уравнение гармонических колебаний имеет вид:

$x = 0,12sin(1,57t)$

Чтобы найти путь, пройденный грузом за 1 с, нужно найти перемещение $x$ в момент времени $t = 1$ с:

$x = 0,12sin(1,57 cdot 1) approx 0,12$ м

Таким образом, груз пройдет путь длиной 0,12 м за 1 с, начиная движение из положения равновесия.

Чтобы найти количество полных колебаний за 4 с, нужно разделить время на период колебаний $T = 1/f = 4$ с / 0,25 с = 16. Значит, за 4 с груз совершит 16 полных колебаний.

2. Из крайнего положения

Если груз начинает движение из крайнего положения, то начальная фаза колебаний $varphi = pm pi/2$. В данном случае не указано, в какую сторону отклонен груз, поэтому будем считать, что он начинает движение из положения максимального отклонения в положительном направлении. Тогда $varphi = pi/2$.

Угловая частота $omega$ остается той же: $omega = 2pi f = 2pi cdot 0,25 = 1,57$ рад/с.

Тогда уравнение гармонических колебаний имеет вид:

$x = 0,12sin(1,57t + pi/2)$

Чтобы найти путь, пройденный грузом за 1 с, нужно найти перемещение $x$ в момент времени $t = 1$ с:

$x = 0,12sin(1,57 cdot 1 + pi/2) approx 0$ м

Таким образом, груз не пройдет никакого пути за первую секунду движения из крайнего положения.