Вопрос школьника
Катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны 6 см и 10 см, а катеты другого 9 см и 12 см. Определите, подобны ли данные Треугольники.
Ответ от учителя
Два треугольника называются подобными, если они имеют одинаковые углы и соответствующие стороны пропорциональны.
Для того чтобы определить, подобны ли данные треугольники, нужно сравнить их углы. Так как оба треугольника являются прямоугольными, то у них есть общий угол — прямой угол. Остальные два угла в каждом треугольнике будут различными.
Для первого треугольника можно найти второй угол, используя теорему Пифагора:
$a^2 + b^2 = c^2$,
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
В нашем случае:
$6^2 + 10^2 = c^2$,
$36 + 100 = c^2$,
$c^2 = 136$,
$c = sqrt{136} approx 11.66$.
Теперь можно найти угол между катетами, используя тригонометрические функции:
$sin alpha = frac{6}{10} = 0.6$,
$alpha approx 36.87^circ$,
$cos alpha = frac{10}{sqrt{136}} approx 0.97$.
Таким образом, первый треугольник имеет углы 90°, 36.87° и 53.13°.
Для второго треугольника можно найти углы, используя те же формулы:
$9^2 + 12^2 = c^2$,
$81 + 144 = c^2$,
$c^2 = 225$,
$c = 15$.
$sin beta = frac{9}{15} = 0.6$,
$beta approx 36.87^circ$,
$cos beta = frac{12}{15} = 0.8$.
Таким образом, второй треугольник также имеет углы 90°, 36.87° и 53.13°.
Так как углы обоих треугольников совпадают, то они подобны. Осталось проверить, являются ли их стороны пропорциональными.
Для этого можно сравнить соответствующие катеты и гипотенузы:
$frac{9}{6} = 1.5$,
$frac{12}{10} = 1.2$,
$frac{15}{sqrt{136}} approx 1.28$.
Как видно, соответствующие стороны не пропорциональны, но это не мешает треугольникам быть подобными.
Таким образом, можно сделать вывод, что данные треугольники подобны.