Вопрос школьника
На биссектрисе CF равнобедренного треугольника ABC с основанием АВ отмечена точка О, на отрезке AF — точка D и на отрезке BF — точка Е, причем DF = EF. Найдите ∠DOE, если ∠ADO = 110°.
Ответ от учителя
Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то у него две равные стороны: AB и AC. Значит, углы при этих сторонах также равны. То есть ∠ABC = ∠ACB.
Так как CF является биссектрисой угла ACB, то ∠ACF = ∠BCF. Но ∠ACF = ∠ADO (по условию), а ∠BCF = ∠BEO (так как треугольник ABC равнобедренный). Значит, ∠ADO = ∠BEO.
Также из условия задачи известно, что DF = EF. Значит, треугольник DEF равнобедренный, и у него ∠DFE = ∠DEF.
Теперь рассмотрим треугольник DOE. Он является равнобедренным, так как DO = EO (они лежат на биссектрисе угла DFE) и ∠DOE = ∠DEO (из предыдущего пункта). Значит, ∠DOE = (180° — ∠DEO) / 2.
Осталось найти ∠DEO. Заметим, что треугольник ADE является равнобедренным, так как AD = DE (по условию) и ∠ADE = ∠AED (так как треугольник ABC равнобедренный). Значит, ∠AED = (180° — ∠ADO) / 2.
Теперь можно найти ∠DEO: ∠DEO = 180° — ∠AED — ∠DEF = 180° — (180° — ∠ADO) / 2 — ∠ADO = 70°.
Итак, ответ: ∠DOE = (180° — ∠DEO) / 2 = (180° — 70°) / 2 = 55°.
