Вопрос школьника
На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC взята точка Е, а внутри треугольника — точка D. Перпендикуляр ЕМ к прямой АС делит катет АС пополам, ∠B = 45°, ∠CDA = 90°, ∠DCA = 60°. Докажите, что ЕМ = DC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольник ABC является равнобедренным, так как ∠B = 45°, а значит, ∠C = 45°. Также заметим, что треугольник CDA является равносторонним, так как ∠CDA = 90°, а ∠DCA = 60°.
Проведем высоту из точки D на сторону AC и обозначим точку пересечения этой высоты с AC как F. Так как треугольник CDA является равносторонним, то высота DF является медианой и биссектрисой этого треугольника. Значит, ∠CDF = 30°.
Также заметим, что треугольник AEM является прямоугольным, так как EM перпендикулярна к AC, а значит, ∠AEM = 90°. Так как EM делит катет AC пополам, то треугольник AEM является равнобедренным, а значит, ∠AME = ∠AEM = 45°.
Теперь рассмотрим треугольник EMD. Так как ∠AEM = 90°, то ∠EMD = 90° — ∠AME = 45°. Также заметим, что ∠EDM = ∠CDF = 30°. Значит, треугольник EMD является равнобедренным, а значит, EM = DM.
Осталось заметить, что треугольники EMD и CDF подобны, так как у них соответственные углы равны: ∠EDM = ∠CDF = 30°, ∠EMD = ∠CDA = 90°, ∠DME = ∠FDC = 60°. Значит, соотношение сторон в этих треугольниках равно EM/CD = DM/DF. Так как EM = DM, то получаем, что EM/CD = 1/2, а значит, EM = DC.
Таким образом, мы доказали, что EM = DC.
