Вопрос школьника
На отрезке МК длиной 14 см отметили точки А и В так, что AM = 10 см, а ВК = 12 см. Чему равна длина отрезка АВ?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В данном случае отрезок МК является гипотенузой прямоугольного треугольника АМК и ВКМ. Таким образом, можно записать:
МК² = АМ² + АК² (1)
МК² = ВК² + ВМ² (2)
Из условия задачи известны значения АМ и ВК:
АМ = 10 см
ВК = 12 см
Подставляя эти значения в формулы (1) и (2), получаем:
МК² = 10² + АК²
МК² = 12² + ВМ²
Сложим эти два уравнения:
2МК² = 100 + 144 + АК² + ВМ²
2МК² = 244 + АВ²
АВ² = 2МК² — 244
Теперь осталось найти значение МК. Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит: в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
В треугольнике АМК угол МАК прямой, поэтому косинус этого угла равен 0. Таким образом, можно записать:
МК² = АМ² + АК² — 2·АМ·АК·cos(МАК)
Подставляя известные значения, получаем:
МК² = 10² + АК² — 2·10·АК·cos(МАК)
АК/МК = cos(МКВ)
cos(МАК) = cos(180° — МКВ) = -cos(МКВ)
Подставляя это значение, получаем:
МК² = 100 + АК² + 2·10·АК·cos(МКВ)
МК² = 100 + АК² + 2·10·АК·(12/МК)
Переносим все слагаемые с МК² на одну сторону и получаем квадратное уравнение:
МК² — 24МК — 80 = 0
Решаем его с помощью формулы дискриминанта:
D = 24² + 4·80 = 736
МК₁,₂ = (24 ± √736)/2 ≈ 12,9; -6,9
Отрицательное значение МК не имеет смысла, поэтому выбираем положительный корень:
МК = 12,9 см
Теперь можно подставить найденное значение МК в формулу для АВ²:
АВ² = 2·12,9² — 244 ≈ 67,41
Извлекая из этого значения квадратный корень, получаем:
АВ ≈ 8,21 см
Таким образом, длина отрезка АВ равна примерно 8,21 см.
