Вопрос школьника
На плоскости даны две точки А и В, причём А В = 2. Найдите геометрическое место таких точек М плоскости, для которых AM^2 + ВМ^2 = 3.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что геометрическое место точек, удовлетворяющих условию AM^2 + ВМ^2 = 3, будет кругом с центром в точке O и радиусом √3. Действительно, если мы построим точку O на середине отрезка АВ, то для любой точки М на окружности с центром в O и радиусом √3 будет выполняться равенство AM^2 + ВМ^2 = 3. Это можно доказать, используя теорему Пифагора для треугольков АМО и ВМО.
Теперь осталось найти координаты точки O. Для этого нужно найти середину отрезка АВ, которая будет иметь координаты (x, y), где x = (x_A + x_B)/2 и y = (y_A + y_B)/2. Таким образом, координаты точки O будут (x, y) = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2).
Итак, геометрическое место точек М, для которых AM^2 + ВМ^2 = 3, является окружностью с центром в точке O = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2) и радиусом √3.
