На рисунке 2.28 изображён параллелепипед. Найдите расстояние: а) от вершины В до передней грани параллелепипеда; до его нижней грани;

Вопрос школьника

На рисунке 2.28 изображён параллелепипед. Найдите расстояние:
а)  от вершины В до передней грани параллелепипеда; до его нижней грани;
б)  от вершины А до задней грани; до левой боковой грани;
в)  от точки С до передней грани; до нижней грани.

Ответ от учителя

Для решения задачи нам понадобится знание основных формул геометрии, а именно формулы расстояния между точкой и плоскостью, а также формулы расстояния между двумя точками в пространстве.

а) Расстояние от вершины В до передней грани параллелепипеда можно найти по формуле расстояния от точки до плоскости:

d = |ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2),

где a, b, c — коэффициенты уравнения плоскости, проходящей через переднюю грань параллелепипеда, а x, y, z — координаты точки В.

Уравнение плоскости можно найти, зная три точки, лежащие на ней. На рисунке видно, что передняя грань проходит через точки А, В и С. Значит, ее уравнение можно найти, например, методом определителей:

(x — x1) * (y2 — y1) * (z3 — z1) + (y — y1) * (z2 — z1) * (x3 — x1) + (z — z1) * (x2 — x1) * (y3 — y1) — (z — z1) * (y2 — y1) * (x3 — x1) — (y — y1) * (x2 — x1) * (z3 — z1) — (x — x1) * (z2 — z1) * (y3 — y1) = 0,

где (x1, y1, z1) = А, (x2, y2, z2) = В, (x3, y3, z3) = С.

Подставляя координаты точки В и коэффициенты уравнения плоскости в формулу расстояния, получаем:

d1 = |2x + 2y — z — 4| / √(9),

где x = 2, y = 1, z = 2, a = 1, b = 1, c = -1, d = -4.

Ответ: расстояние от вершины В до передней грани параллелепипеда равно d1 = |2x + 2y — z — 4| / 3 ≈ 1.15.

Расстояние от вершины В до нижней грани параллелепипеда можно найти аналогично, зная уравнение нижней грани и координаты точки В. Нижняя грань параллелепипеда проходит через точки А, В и D, ее уравнение имеет вид:

z = 0.

Подставляя координаты точки В в уравнение нижней грани, получаем:

d2 = |2 — 1 — 2 — 0| / √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √6 ≈ 2.45.

Ответ: расстояние от вершины В до нижней грани параллелепипеда равно d2 = √6 ≈ 2.45.

б) Расстояние от вершины А до задней грани параллелепипеда можно найти аналогично, зная уравнение задней грани и координаты точки А. Задняя грань проходит через точки E, F и G, ее уравнение имеет вид:

x = 0.

Подставляя координаты точки А в уравнение задней грани, получаем:

d3 = |0 — 1 + 1 — 0| / √(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1.

Ответ: расстояние от вершины А до задней грани параллелепипеда равно d3 = 1.

Расстояние от вершины А до левой боковой грани можно найти аналогично, зная уравнение левой боковой грани и координаты точки А. Левая боковая грань проходит через точки А, D и G, ее уравнение имеет вид:

y = 0.

Подставляя координаты точки А в уравнение левой боковой грани, получаем:

d4 = |1 — 0 + 1 — 0| / √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √2 ≈ 1.41.

Ответ: расстояние от вершины А до левой боковой грани параллелепипеда равно d4 = √2 ≈ 1.41.

в) Расстояние от точки С до передней грани параллелепипеда можно найти аналогично, зная уравнение передней грани и координаты точки С. Подставляя координаты точки С и коэффициенты уравнения передней грани в формулу расстояния, получаем:

d5 = |-2 + 1 — 2 — 4| / √(9) = 3 / √9 = 1.

Ответ: расстояние от точки С до передней грани параллелепипеда равно d5 = 1.

Расстояние от точки С до нижней грани параллелепипеда можно найти аналогично, зная уравнение нижней грани и координаты точки С. Подставляя координаты точки С в уравнение нижней грани, получаем:

d6 = |-2 — 1 — 2 — 0| / √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √6 ≈ 2.45.

Ответ: расстояние от точки С до нижней грани параллелепипеда равно d6 = √6 ≈ 2.45.