Вопрос школьника
На рисунке ABCD— трапеция, периметр которой равен P. AR, BR, CQ, DQ — биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С, D соответственно. Найдите RQ.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что биссектрисы внешних углов при вершинах трапеции равны по длине полусуммам оснований:
AR = (AB + CD) / 2
BR = (BC + AD) / 2
CQ = (CD + AB) / 2
DQ = (AD + BC) / 2
Также заметим, что RQ является диагональю четырехугольника ARQC. Поэтому, чтобы найти RQ, нужно найти длины сторон AR, BR, CQ, DQ и периметр четырехугольника ARQC.
Периметр трапеции равен P, поэтому:
P = AB + BC + CD + AD
Также заметим, что стороны AR и CQ являются диагоналями параллелограммов ABCD и ACDQ соответственно. Поэтому:
AR^2 = AB^2 + AD^2 — 2AB*AD*cos(A)
CQ^2 = CD^2 + AD^2 — 2CD*AD*cos(C)
где A и C — углы при вершине A и C соответственно.
Аналогично, стороны BR и DQ являются диагоналями параллелограммов ABCD и BCDQ соответственно. Поэтому:
BR^2 = BC^2 + AD^2 — 2BC*AD*cos(B)
DQ^2 = CD^2 + BC^2 — 2CD*BC*cos(D)
где B и D — углы при вершине B и D соответственно.
Теперь найдем периметр четырехугольника ARQC. Для этого нужно сложить длины сторон AR, CQ, RQ и QC:
P_ARQC = AR + CQ + RQ + QC
Заметим, что стороны AR и CQ равны по длине, поэтому:
P_ARQC = 2*AR + RQ
Теперь выразим RQ через известные величины:
RQ = P_ARQC — 2*AR
Подставим выражения для AR и CQ:
RQ = P_ARQC — (AB + CD) — (CD + AB) = P_ARQC — 2*AB — 2*CD
Теперь осталось выразить P_ARQC через известные величины. Заметим, что углы A и C являются смежными углами, поэтому их сумма равна 180 градусов. Аналогично, углы B и D являются смежными углами, поэтому их сумма равна 180 градусов. Таким образом:
A + C = 180 — B — D
cos(A) = -cos(C)
cos(B) = -cos(D)
Подставим эти выражения в формулы для AR^2, CQ^2, BR^2 и DQ^2:
AR^2 = AB^2 + AD^2 + 2AB*AD*cos(B)
CQ^2 = CD^2 + AD^2 + 2CD*AD*cos(D)
BR^2 = BC^2 + AD^2 + 2BC*AD*cos(A)
DQ^2 = CD^2 + BC^2 + 2CD*BC*cos(C)
Теперь выразим P_ARQC через известные величины:
P_ARQC = AR^2 + CQ^2 + BR^2 + DQ^2 — 2*AR*CQ — 2*BR*DQ
Подставим выражения для AR, BR, CQ и DQ:
P_ARQC = (AB^2 + AD^2 + 2AB*AD*cos(B)) + (CD^2 + AD^2 + 2CD*AD*cos(D)) + (BC^2 + AD^2 + 2BC*AD*cos(A)) + (CD^2 + BC^2 + 2CD*BC*cos(C)) — 2*((AB + CD)/2)*((CD + AB)/2) — 2*((BC + AD)/2)*((CD + BC)/2)
Упростим выражение:
P_ARQC = AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 + 2(AB*AD*cos(B) + BC*AD*cos(A) + CD*AD*cos(D) + CD*BC*cos(C)) — AB*CD — BC*AD
Теперь можем выразить RQ через известные величины:
RQ = P_ARQC — 2*AB — 2*CD = AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 + 2(AB*AD*cos(B) + BC*AD*cos(A) + CD*AD*cos(D) + CD*BC*cos(C)) — AB*CD — BC*AD — 2*AB — 2*CD
Таким образом, мы получили формулу для вычисления RQ через известные величины.
