Вопрос школьника
На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D, прямая CD перпендикулярна к медиане AM, AD : DB = 3 : 1, AC = 3, угол C = 60º. Найдите BC.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой медианы. Она гласит, что медиана треугольника делит противоположную сторону пополам. То есть, AM = MB.
Также, по условию задачи, CD перпендикулярна к медиане AM. Значит, CD является высотой треугольника ABC, опущенной на сторону AB.
Теперь рассмотрим треугольник ACD. Он является прямоугольным, так как CD является высотой. Из условия задачи известно, что AD : DB = 3 : 1. Значит, можно записать, что AD = 3x, а DB = x, где x — некоторое число.
Также из треугольника ACD можно записать, что AC^2 = AD^2 — CD^2. Подставляя известные значения, получаем:
3^2 = (3x)^2 — CD^2
CD^2 = 9x^2 — 9
Теперь рассмотрим треугольник BCD. Он также является прямоугольным, так как CD является высотой. Из него можно записать, что BC^2 = BD^2 — CD^2. Подставляя известные значения, получаем:
BC^2 = (4x)^2 — (9x^2 — 9)
BC^2 = 16x^2 — 9
Таким образом, мы получили выражение для квадрата стороны BC через x. Осталось найти значение x.
Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABC. Из нее следует, что:
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC*cos(C)
Подставляя известные значения, получаем:
3^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB*BC*cos(60º)
3 = AB^2 + BC^2 — AB*BC
Также мы знаем, что AM = MB. Из этого можно записать, что:
AB + BM = 2AM
AB + AB = 2(3)
AB = 3
Теперь мы можем записать уравнение для BC через x и решить его:
BC^2 = 16x^2 — 9
3 = AB^2 + BC^2 — AB*BC
Подставляем AB = 3:
3 = 9 + BC^2 — 3BC
BC^2 — 3BC — 6 = 0
Решаем квадратное уравнение:
BC = (3 ± √33)/2
Так как сторона треугольника не может быть отрицательной, то выбираем положительный корень:
BC = (3 + √33)/2
Ответ: BC = (3 + √33)/2.
