На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны. Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Вопрос школьника

На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны. Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Ответ от учителя

Для доказательства того, что треугольник АВС является равнобедренным, необходимо показать, что стороны АВ и АС равны.

Из условия задачи известно, что углы АDB и BEC равны. Рассмотрим треугольники АBD и ВСЕ. Они имеют две равные стороны: АД и ВЕ (по условию) и углы АDB и BEC (по условию). Также, эти углы являются вершинными углами треугольников АВС и АСЕ соответственно.

Из равенства углов АDB и BEC следует, что углы АВС и АСЕ равны. Таким образом, треугольники АВС и АСЕ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников АВС и АСЕ следует, что отношение сторон АВ и АС к соответствующим сторонам СЕ и АЕ равно. Так как стороны АЕ и CD равны по условию, то отношение сторон АВ и АС к сторонам CD и СЕ также равно.

Таким образом, стороны АВ и АС равны между собой, что и означает, что треугольник АВС является равнобедренным.