Вопрос школьника
Найдите длины общих касательных к окружностям, радиусы которых равны R и r, а расстояние между их центрами равно 1.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи воспользуемся формулой для длины общей касательной к двум окружностям:
l = 2 * √(d^2 — r^2 — R^2)
где d — расстояние между центрами окружностей, r и R — радиусы соответствующих окружностей.
В нашем случае d = 1, R — радиус одной из окружностей, r — радиус другой окружности.
Тогда формула для длины общей касательной примет вид:
l = 2 * √(1 — r^2 — R^2)
Осталось только выразить r через R и подставить полученное выражение в формулу для l.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного линией, соединяющей центры окружностей, и отрезками, соединяющими центры окружностей с точками касания касательных.
Тогда получим:
r^2 + (1/2)^2 = R^2
r^2 = R^2 — 1/4
Подставляем это выражение в формулу для l:
l = 2 * √(1 — (R^2 — 1/4) — R^2) = 2 * √(1/2 — R^2)
Таким образом, длина общих касательных к окружностям радиусов R и r, расстояние между центрами которых равно 1, равна 2 * √(1/2 — R^2), где r^2 = R^2 — 1/4.
