Вопрос школьника
Не строя график, определить, при каком значении х квадратичная функция имеет наибольшее (наименьшее) значение; найти это значение: 1) у=х^2-6x + 13; 2) у = х^2 — 2х — 4; 3) у = -х^2 + 4х + 3; 4) у = Зх^2-6х + 1.
Ответ от учителя
Для определения наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции необходимо найти координаты вершины параболы. Формула для нахождения координат вершины имеет вид:
x = -b/2a, y = f(x) = -D/4a,
где a, b, c — коэффициенты квадратичной функции в общем виде ax^2 + bx + c, D — дискриминант, определяемый по формуле D = b^2 — 4ac.
1) y = x^2 — 6x + 13.
a = 1, b = -6, c = 13.
D = (-6)^2 — 4*1*13 = 4.
x = -(-6)/(2*1) = 3.
y = -(4)/(4*1) = -1.
Наибольшее значение функции равно -1 и достигается при x = 3.
2) y = x^2 — 2x — 4.
a = 1, b = -2, c = -4.
D = (-2)^2 — 4*1*(-4) = 20.
x = -(-2)/(2*1) = 1.
y = -(20)/(4*1) = -5/2.
Наименьшее значение функции равно -5/2 и достигается при x = 1.
3) y = -x^2 + 4x + 3.
a = -1, b = 4, c = 3.
D = 4^2 — 4*(-1)*3 = 16 + 12 = 28.
x = -4/(2*(-1)) = 2.
y = -(28)/(4*(-1)) = 7.
Наибольшее значение функции равно 7 и достигается при x = 2.
4) y = 3x^2 — 6x + 1.
a = 3, b = -6, c = 1.
D = (-6)^2 — 4*3*1 = 12.
x = -(-6)/(2*3) = 1.
y = -(12)/(4*3) = -1/3.
Наименьшее значение функции равно -1/3 и достигается при x = 1.
Таким образом, мы определили, при каком значении x квадратичная функция имеет наибольшее или наименьшее значение, и нашли соответствующие значения функции.
