Вопрос школьника
Одна из сторон параллелограмма равна 13, а диагонали равны 10 и 24. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим угол между диагоналями параллелограмма через α. Тогда:
$10^2 = 13^2 + x^2 — 2 cdot 13 cdot x cdot cos alpha$
$24^2 = 13^2 + x^2 + 2 cdot 13 cdot x cdot cos alpha$
где x — другая сторона параллелограмма.
Выразим из первого уравнения $cos alpha$:
$cos alpha = frac{13^2 + x^2 — 10^2}{2 cdot 13 cdot x} = frac{169 + x^2 — 100}{26x} = frac{x^2 + 69}{13x}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$24^2 = 13^2 + x^2 + 2 cdot 13 cdot x cdot frac{x^2 + 69}{13x}$
$576 = x^2 + x^3 + 69x$
$x^3 + x^2 + 69x — 576 = 0$
Решим это уравнение. Найдем один из корней, например, методом подбора:
$x = 6$
Подставим этот корень в выражение для $cos alpha$:
$cos alpha = frac{6^2 + 69}{13 cdot 6} = frac{55}{39}$
Найдем угол α:
$alpha = arccos frac{55}{39} approx 47.5^circ$
Ответ: угол между диагоналями параллелограмма равен примерно 47.5 градусов.
