Около трапеции ABCD с основаниями ВС и AD описана окружность, диаметром которой является основание AD. Найдите площадь трапеции, если длина ее диагонали равна а, а радиус окружности равен R.

Вопрос школьника

Ответ от учителя

Пусть точка O — центр описанной окружности, а точка M — середина основания AD. Тогда OM является высотой трапеции ABCD, а радиус окружности R равен половине длины основания AD.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOM:
AM^2 + OM^2 = AO^2
Так как AM = (AB + CD)/2, а AO = R, то:
((AB + CD)/2)^2 + OM^2 = R^2

Аналогично, в прямоугольном треугольнике BOM:
BM^2 + OM^2 = BO^2
Так как BM = (BC — AD)/2, а BO = R, то:
((BC — AD)/2)^2 + OM^2 = R^2

Сложим эти два уравнения и получим:
((AB + CD)/2)^2 + ((BC — AD)/2)^2 = a^2/4

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
AB*CD + BC*AD = a^2

Так как AB + CD = BC + AD, то можно записать:
AB*CD + (AB + CD)*AD = a^2
AB*CD + AB*AD + CD*AD = a^2
AB*(CD + AD) + CD*AD = a^2
AB*BC + CD*AD = a^2

Таким образом, мы получили выражение для площади трапеции ABCD:
S = (AB+CD)*OM/2 = (AB+CD)*sqrt(R^2 — OM^2)/2 = (AB*BC + CD*AD)/2R

Подставим в это выражение AB*BC + CD*AD = a^2 и получим:
S = a^2/2R

Ответ: площадь трапеции ABCD равна a^2/2R.