Вопрос школьника
Около трапеции со средней линией 3 см описана окружность. Угол между радиусами окружности, проведенными к концам боковой стороны, равен 120°. Найдите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть трапеция ABCD имеет основания AB и CD, боковые стороны AD и BC, а средняя линия EF равна 3 см. Пусть точка O — центр описанной окружности, а точки M и N — середины боковых сторон AD и BC соответственно.
Так как угол между радиусами, проведенными к концам боковой стороны, равен 120°, то угол AOB равен 60°. Также известно, что точка O лежит на средней линии EF. Значит, OM = ON = 1,5 см.
Так как OM и ON являются радиусами описанной окружности, то AM = BM = CN = DN = r, где r — радиус окружности.
Также известно, что сумма оснований трапеции AB и CD равна 2r, так как это диаметр окружности. Значит, AB + CD = 2r.
Так как AM = BM и CN = DN, то AC = 2r — AB и BD = 2r — CD.
Таким образом, площадь трапеции ABCD равна:
S = (AB + CD) * EF / 2 = (2r) * 3 / 2 = 3r
А выражение для r можно получить из системы уравнений:
AB + CD = 2r
AC = 2r — AB
BD = 2r — CD
AC + BD = AD + BC = 2EF = 6
AC + BD = 4r — (AB + CD) = 4r — 2r = 2r
2r = 6
r = 3
Таким образом, площадь трапеции ABCD равна:
S = 3r = 9 см².
