Основание треугольной пирамиды SABC — прямоугольный равнобедренный треугольник ABC (ACB = 90°). Вычислите расстояние от вершины В до плоскости ASC, если SB = АВ = 3 см и SB _l_ (ABC).

Вопрос школьника

Основание треугольной пирамиды SABC — прямоугольный равнобедренный треугольник ABC (ACB = 90°). Вычислите расстояние от вершины В до плоскости ASC, если SB = АВ = 3 см и SB _l_ (ABC).

Ответ от учителя

Для решения задачи нам понадобится использовать свойства прямоугольного треугольника и равнобедренной треугольной пирамиды.

Из условия задачи известно, что треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным, то есть AB = BC. Также известно, что SB = AB = 3 см и SB _l_ (ABC), то есть отрезок SB является высотой пирамиды, опущенной на основание ABC.

Чтобы найти расстояние от вершины В до плоскости ASC, нам нужно найти высоту пирамиды, опущенную на боковую грань ASC. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = 3^2 + 3^2

AC^2 = 18

AC = √18 = 3√2 см

Таким образом, высота пирамиды, опущенная на боковую грань ASC, равна AC = 3√2 см. Осталось найти расстояние от вершины В до плоскости ASC. Для этого можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости:

d = |ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2)

где a, b, c — коэффициенты уравнения плоскости, проходящей через три точки A, S и C, а x, y, z — координаты точки B.

Найдем уравнение плоскости ASC. Для этого можно воспользоваться формулой для уравнения плоскости, проходящей через три точки:

(x — x1)(y2 — y1)(z3 — z1) + (y — y1)(z2 — z1)(x3 — x1) + (z — z1)(x2 — x1)(y3 — y1) — (z — z1)(y2 — y1)(x3 — x1) — (y — y1)(x2 — x1)(z3 — z1) — (x — x1)(z2 — z1)(y3 — y1) = 0

где (x1, y1, z1) = A, (x2, y2, z2) = S, (x3, y3, z3) = C.

Подставляя координаты точек A, S и C, получаем:

(x — 0)(0 — 0)(3√2 — 0) + (y — 3)(3 — 0)(0 — 0) + (z — 0)(0 — 0)(0 — 3) — (z — 0)(0 — 0)(3 — 0) — (y — 3)(0 — 0)(0 — 3√2) — (x — 0)(0 — 3)(0 — 0) = 0

3√2x — 9y — 3z + 9√2 = 0

Таким образом, коэффициенты уравнения плоскости равны a = 3√2, b = -9, c = -3, d = -9√2.

Подставляя координаты точки B (0, 3, 0) и коэффициенты уравнения плоскости в формулу для расстояния от точки до плоскости, получаем:

d = |3√2*0 — 9*3 + (-3)*0 — 9√2| / √(3√2^2 + (-9)^2 + (-3)^2)

d = 27 / √63

d = 9 / √21 см

Таким образом, расстояние от вершины В до плоскости ASC равно 9 / √21 см.