Вопрос школьника
Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат. Длина диагонали боковой грани параллелепипеда равна 13 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник DAA1, равен 2 см. Вычислите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Ответ от учителя
Пусть сторона квадрата, являющегося основанием параллелепипеда, равна a. Тогда высота параллелепипеда равна a, так как основание и высота квадрата равны. По теореме Пифагора в боковой грани параллелепипеда диагональ равна $sqrt{a^2+a^2}=asqrt{2}$. Из условия задачи получаем уравнение:
$$asqrt{2}=13$$
$$a=frac{13}{sqrt{2}}$$
Треугольник DAA1 является прямоугольным, так как один из углов равен 90 градусов (угол A1DA). Поэтому радиус окружности, вписанной в него, равен половине гипотенузы, то есть $r=1/2cdot AA1=1/2cdotsqrt{2}a$. Подставляем значение a:
$$r=frac{1}{2}cdotsqrt{2}cdotfrac{13}{sqrt{2}}=13/2$$
Теперь можем найти площадь боковой поверхности параллелепипеда. Она равна сумме площадей четырех прямоугольников, из которых состоит боковая грань. Длина одного прямоугольника равна высоте параллелепипеда, то есть a, а ширина равна диагонали основания, то есть $asqrt{2}$. Подставляем значения:
$$S=4cdot acdot asqrt{2}=8a^2=8cdotfrac{13^2}{2}=676$$
Ответ: площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 676 квадратных сантиметров.
