Отрезок BF — биссектриса треугольника ABC. Через точку F проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке О так, что ВО = OF. Докажите, что FO||АВ.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Отрезок BF — биссектриса треугольника ABC. Через точку F проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке О так, что ВО = OF. Докажите, что FO||АВ.

Ответ от учителя

Для доказательства того, что $FO parallel AB$, нужно показать, что углы между этими прямыми равны.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, отрезок $BF$ является биссектрисой угла $BAC$. Значит, угол $FAB$ равен углу $FAC$.

Также по условию, $BO = OF$. Значит, треугольник $BOF$ является равнобедренным, и углы $OBF$ и $OFB$ равны.

Теперь рассмотрим треугольник $OFC$. Угол $OFC$ является внешним по отношению к треугольнику $ABC$, а значит, он равен сумме углов $FAB$ и $FAC$.

Таким образом, получаем:

$$angle OBF = angle OFB$$
$$angle FAB = angle FAC$$
$$angle OFC = angle FAB + angle FAC$$

Сложим первые два уравнения:

$$angle OBF + angle FAB = angle OFB + angle FAC$$

Заметим, что левая часть этого уравнения равна углу $ABO$, а правая часть равна углу $OFC$. Таким образом, мы получили, что углы $ABO$ и $OFC$ равны.

Но угол $ABO$ также равен углу $FOB$, так как треугольник $BOF$ равнобедренный. Значит, углы $FOB$ и $OFC$ равны, что и означает, что $FO parallel AB$.

Таким образом, мы доказали, что прямая, проходящая через точку $F$ и пересекающая сторону $BC$ в точке $O$ так, что $BO = OF$, параллельна стороне $AB$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *