Вопрос школьника
Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что угол AMC = 3угол BMC.
Ответ от учителя
Поскольку прямые MA и MB касаются окружности с центром О в точках А и В, то углы OAM и OBM прямые. Также, поскольку точка С симметрична точке О относительно точки В, то BC = BO и угол CBO равен углу OBC.
Рассмотрим треугольники AMC и BMC. Угол AMB является центральным углом, соответствующим дуге ACB, поэтому он равен углу ACB. Также, угол OAM равен углу OBM, так как они прямые. Угол CBO равен углу OBC, так как точка О является центром окружности.
Теперь рассмотрим угол AMC. Он равен сумме углов OAM и ACB. Угол BMC равен сумме углов OBM и ACB. Подставляя равенства, получаем:
угол AMC = угол OAM + угол ACB = угол OBM + угол ACB + угол ACB = угол BMC + 2 угла ACB
Таким образом, угол AMC больше угла BMC на 2 угла ACB. Но мы знаем, что угол CBO равен углу OBC, поэтому угол ACB равен половине угла OBC. Таким образом, угол AMC больше угла BMC на угол OBC.
Но мы также знаем, что угол OBC является центральным углом, соответствующим дуге AB, поэтому он равен углу AOB. Таким образом, угол AMC больше угла BMC на угол AOB.
Но угол AOB является третьим углом треугольника ABC, который равен 180 градусов. Таким образом, угол AOB равен 60 градусов, и угол AMC больше угла BMC на 60 градусов.
Итак, мы доказали, что угол AMC равен 3 углам BMC.
