Пусть ABCD — параллелограмм. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и DCA принадлежат диагонали BD и делят её на три равные части.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Пусть ABCD — параллелограмм. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC и DCA принадлежат диагонали BD и делят её на три равные части.

Ответ от учителя

Для начала, рассмотрим медиану треугольника ABC, проходящую через вершину A. Пусть точка пересечения этой медианы с отрезком BD называется M. Тогда, по определению медианы, AM является серединой стороны BC, а BM — серединой стороны AD.

Также рассмотрим медиану треугольника DCA, проходящую через вершину C. Пусть точка пересечения этой медианы с отрезком BD называется N. Тогда, аналогично, CN является серединой стороны DA, а BN — серединой стороны CB.

Заметим, что точки M и N лежат на одной прямой с вершиной параллелограмма B. Действительно, поскольку AM и CN являются медианами треугольников ABC и DCA соответственно, то они пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1. Таким образом, отрезок MN является средней линией треугольника BCD, и по свойству средней линии он параллелен стороне BC и равен ей вдвое.

Таким образом, мы доказали, что точки пересечения медиан треугольников ABC и DCA лежат на диагонали BD и делят её на три равные части.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *