Пусть в треугольнике ABC выполняется неравенство АС > ВС. Докажите, что: а) если CD — медиана, то ∠ACD < ∠BCD; б) если CD — биссектриса, то AD > BD.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

Пусть в треугольнике ABC выполняется неравенство АС > ВС. Докажите, что: а) если CD — медиана, то ∠ACD < ∠BCD; б) если CD — биссектриса, то AD > BD.

Ответ от учителя

а) Пусть CD — медиана треугольника ABC, то есть точка D делит сторону AB пополам. Рассмотрим треугольники ACD и BCD. Они имеют общую сторону CD и равны по двум сторонам (AC = BC, CD — медиана). Значит, они равны и по углу при вершине C (по теореме об угле при основании). Но тогда угол ACD меньше угла BCD, так как он лежит напротив более короткой стороны.

б) Пусть CD — биссектриса угла ACB. Тогда угол ACD равен углу BCD (по определению биссектрисы). Рассмотрим треугольники ACD и BCD. Они имеют общую сторону CD и равны по углу при вершине C (он равен самому себе) и по двум углам (ACB и ACD = BCD). Значит, они равны и по третьей стороне AD = BD (по теореме о равенстве боковых сторон в равных треугольниках).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *