Вопрос школьника
Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами a = 375 г, б = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет : а) от 300 до 425 г; б)не более 450 г; в)больше 300г.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать формулу плотности вероятности нормального распределения:
f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x — μ)^2 / (2 * σ^2)))
где μ — математическое ожидание (a), σ — стандартное отклонение (b), x — значение случайной величины.
а) Вероятность того, что вес рыбы будет от 300 до 425 г, можно найти как разность вероятностей того, что вес будет не больше 425 г и не меньше 300 г:
P(300 ≤ x ≤ 425) = P(x ≤ 425) — P(x ≤ 300)
Для нахождения этих вероятностей нам нужно найти соответствующие значения функции распределения нормального закона. Функция распределения определяется как интеграл от плотности вероятности:
F(x) = ∫ f(t) dt (от -∞ до x)
Для нашего случая:
P(x ≤ 425) = F(425) = ∫ f(t) dt (от -∞ до 425)
P(x ≤ 300) = F(300) = ∫ f(t) dt (от -∞ до 300)
Подставляя значения в формулу, получаем:
P(300 ≤ x ≤ 425) = F(425) — F(300) ≈ 0.6827
Ответ: вероятность того, что вес рыбы будет от 300 до 425 г, составляет примерно 0.6827.
б) Вероятность того, что вес рыбы не превысит 450 г, можно найти как значение функции распределения в точке 450:
P(x ≤ 450) = F(450) = ∫ f(t) dt (от -∞ до 450)
Подставляя значения в формулу, получаем:
P(x ≤ 450) ≈ 0.9938
Ответ: вероятность того, что вес рыбы не превысит 450 г, составляет примерно 0.9938.
в) Вероятность того, что вес рыбы будет больше 300 г, можно найти как разность вероятностей того, что вес будет не больше 300 г и всей вероятности:
P(x > 300) = 1 — P(x ≤ 300) = 1 — F(300) = 1 — ∫ f(t) dt (от -∞ до 300)
Подставляя значения в формулу, получаем:
P(x > 300) ≈ 0.8413
Ответ: вероятность того, что вес рыбы будет больше 300 г, составляет примерно 0.8413.
