Вопрос школьника
Середини півдіагоналей М, N, Р, К паралелограма АВСО
послідовно сполучили відрізками (мал. 20). Доведіть, що чотирикутник
ММРК — паралелограм
Ответ от учителя
Для доведення того, что четырехугольник ММРК является параллелограммом, необходимо использовать свойства параллелограмма.
Свойства параллелограмма:
1. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
3. Диагонали параллелограмма делятся пополам.
Используя эти свойства, можно доказать, что четырехугольник ММРК является параллелограммом.
1. Середины попарно противоположных сторон параллелограмма АВСО соединены отрезками МН и РК, которые являются поперечными диагоналями параллелограмма. По свойству 3 диагонали параллелограмма делятся пополам, следовательно, отрезки МН и РК равны между собой.
2. Отрезки МН и РК параллельны сторонам АВ и СО соответственно, так как они являются серединными поперечными диагоналями параллелограмма. По свойству 1 противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, следовательно, стороны ММ и РК параллельны сторонам АВ и СО соответственно.
3. Угол ММР равен углу МНО, так как они являются вертикальными углами. Угол МНО равен углу АВС, так как МН является серединным перпендикуляром к стороне АВ. Угол АВС равен углу СОР, так как стороны АВ и СО параллельны. Угол СОР равен углу РКМ, так как они являются вертикальными углами. Следовательно, угол ММР равен углу РКМ, а угол МРК равен углу МНО. По свойству 2 противоположные углы параллелограмма равны, следовательно, угол ММР равен углу РКМ, а угол МРК равен углу МНО.
Таким образом, четырехугольник ММРК удовлетворяет всем свойствам параллелограмма, следовательно, он является параллелограммом.
