Вопрос школьника
Серединные перпендикуляры KL и MN к боковым сторонам ВС и АВ равнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке О (рис. 157). Докажите, что: a) MN = KL; б) МО = КО.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что в равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны ВС и АВ равны, а значит, серединные перпендикуляры KL и MN к этим сторонам также равны. То есть, KL = MN.
Далее, рассмотрим треугольники АОК и ВОМ. Они равнобедренные, так как О — точка пересечения серединных перпендикуляров к боковым сторонам равнобедренного треугольника ABC, а значит, ОК = ОМ и ОА = ОВ.
Также заметим, что угол АОК равен углу ВОМ, так как они оба являются вертикальными углами. А значит, треугольники АОК и ВОМ подобны по двум сторонам и углу между ними (по стороне ОК, ОМ и углу АОК = углу ВОМ).
Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть, ОМ/ОК = ОВ/ОА. Но так как ОК = ОМ и ОА = ОВ, то получаем, что ОМ/ОК = 1, то есть, ОМ = ОК.
Таким образом, мы доказали, что MN = KL и МО = КО.
